手算检查 QUBO 到 Hamiltonian 的映射¶
把一个两变量二进制目标转换为 Pauli 算符，并逐一检查四个计算基态。请先完成图问题和Hamiltonian 与可观测量，在安装好的环境中从仓库根目录运行。
我们要最小化的目标为：
f(x0, x1) = 0.1 − x0 − 0.5 x1 + 1.25 x0 x1
x0, x1 ∈ {0, 1}
正的二次项使同时选择两个变量更贵。它是目标函数的一部分；通用 QUBO 不会另外将这种选择标为不满足约束。图问题转换为 MIS 时，才会附带相应的约束解释。
先确认正负号约定¶
经典变量转换使用 x = (1+s)/2，其中 s ∈ {−1,+1}。投影到 Pauli 算符时使用 s = −Z。两步合起来是 x = (I−Z)/2，因此计算基 0 对应 x=0，1 对应 x=1。
代入并展开可得：
H = −0.3375 I + 0.1875 Z0 − 0.0625 Z1 + 0.3125 Z0 Z1
常数项不会改变哪个状态使能量最小，但会影响报告中的能量值。这里的系数表示优化目标的数值，尚未指定如何换算成物理频率 rad/us 或硬件脉冲幅度。
"""把带类型的 QUBO 问题投影为 Pauli cost Hamiltonian。
投影结果保留变量顺序、offset、各项系数和来源标识，可直接作为 QAOA 或 VQE 的
cost operator。本例不运行优化器，也不包含硬件 embedding。
"""
from __future__ import annotations
import json
from cascaqit.algorithms import problem_to_pauli_hamiltonian
from cascaqit.problems import QUBOProblemIR, evaluate_qubo_bitstring
def main() -> None:
"""构建一个 QUBO、完成投影，并评估一个已知 bitstring。"""
problem = QUBOProblemIR.from_terms(
problem_id="lesson.optimization.qubo",
variables=("x0", "x1"),
linear_terms={"x0": -1.0, "x1": -0.5},
quadratic_terms={("x0", "x1"): 1.25},
offset=0.1,
)
hamiltonian = problem_to_pauli_hamiltonian(problem)
payload = {
"track": "optimization_researcher",
"level": "foundation",
"lesson": "qubo_hamiltonian",
"facts": {
"variables": list(problem.variables),
"pauli_coefficients": {
term.observable.name: term.coefficient for term in hamiltonian.terms
},
"basis_objectives": {
bits: evaluate_qubo_bitstring(problem, bits)
for bits in ("00", "01", "10", "11")
},
"term_count": len(hamiltonian.terms),
"hamiltonian_offset": hamiltonian.constant,
"candidate_10_value": evaluate_qubo_bitstring(problem, "10"),
"source_hash_present": len(problem.stable_hash()) == 64,
},
"boundaries": {
"hardware_execution": False,
"cloud_execution": False,
"network_accessed": False,
"credentials_loaded": False,
},
}
print(json.dumps(payload, sort_keys=True))
if __name__ == "__main__":
main()
python3 examples/user/tracks/optimization_researcher/02_foundation_qubo_hamiltonian_zh.py
{
"boundaries": {
"cloud_execution": false,
"credentials_loaded": false,
"hardware_execution": false,
"network_accessed": false
},
"facts": {
"basis_objectives": {
"00": 0.1,
"01": -0.4,
"10": -0.9,
"11": -0.1499999999999999
},
"candidate_10_value": -0.9,
"hamiltonian_offset": -0.3375,
"pauli_coefficients": {
"Z(x0)": 0.1875,
"Z(x0)*Z(x1)": 0.3125,
"Z(x1)": -0.0625
},
"source_hash_present": true,
"term_count": 3,
"variables": [
"x0",
"x1"
]
},
"lesson": "qubo_hamiltonian",
"level": "foundation",
"track": "optimization_researcher"
}
按 variables 的顺序读取比特串，第一个字符表示 x0。
| 比特串 | 二进制目标值 | Hamiltonian 基态能量 |
|---|---|---|
00 |
0.1 | 0.1 |
01 |
−0.4 | −0.4 |
10 |
−0.9 | −0.9 |
11 |
−0.15 | −0.15 |
最小值对应 10。脚本同时输出全部基态目标值和 Pauli 系数，可以在运行优化器之前检查映射。源码哈希用于标识所用问题，不能单独证明转换正确。本课不会执行优化、采样或硬件嵌入。
修改代价，再检查结果¶
- 只把常数偏移从
0.1改为0.6。表格、算符和最优比特串分别怎样变化？ - 移除二次项，哪个比特串会成为最优解？
- 用
Z0=-1、Z1=+1计算10的能量，再反转两者符号。第二次实际算的是哪个比特串？
常数偏移使所有值和 Hamiltonian 常数项都增加 0.5，最优比特串仍是 10。去掉成对代价后，11 的值为 −1.4，成为最优解。原算符在 10 上的能量为 −0.9；反转符号实际计算了 01，得到 −0.4。位序或编码出错时，结果仍可能看起来合理，却已经在求另一个问题。
下一课运行 QAOA，观察优化器如何使用这个代价算符。